对称矩阵是指矩阵的转置与本身相等，即A=A^T。对称矩阵是一个实数域上的方阵，因此特征方程的解必然为实数。对于正定对称矩阵，所有的主子式都是正数。由于正定对称矩阵的所有特征值都大于零，所以其行列式不为零，即存在逆矩阵。这些性质使得正定对称矩阵在很多应用中具有重要作用，例如在优化问题和线性代数中的特征值问题中。
对称矩阵是指矩阵的转置与本身相等，即A = A^T。以下是对称矩阵的一些性质：
1. 对称矩阵的特征值都是实数。这是因为对称矩阵的特征方程为 det(A - λI) = 0，其中A是对称矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。对称矩阵是一个实数域上的方阵，因此特征方程的解必然为实数。
2. 对称矩阵的特征向量相互正交。如果A是对称矩阵，λ1和λ2是A的两个不同特征值，则对应的特征向量x1和x2满足内积的性质：x1·x2 = 0。
3. 正定对称矩阵的所有特征值都大于零。正定矩阵在所有非零向量上定义了一个正定的二次型，其特征值是二次型所有可能取值的最小和最大值。由于正定对称矩阵的特征值都是实数，所以它们都大于零。
4. 正定对称矩阵的所有主子式都大于零。主子式是指从矩阵中选取一些行和对应的列，得到的子矩阵的行列式。对于正定对称矩阵，所有的主子式都是正数。
5. 正定对称矩阵是可逆的。由于正定对称矩阵的所有特征值都大于零，所以其行列式不为零，即存在逆矩阵。
这些性质使得正定对称矩阵在很多应用中具有重要作用，例如在优化问题和线性代数中的特征值问题中。